問題描述：
振型 i 在 X 方向地震作用下的振型質(zhì)量參與系數(shù)為：
請問，推導(dǎo)該公式的基本原理和具體過程是怎樣的呢？
解答：
振型質(zhì)量參與系數(shù)：在特定方向的單位地震加速度荷載作用下，振型 i 產(chǎn)生的基底剪力與整個結(jié)構(gòu)的基底剪力的比值。關(guān)于振型質(zhì)量參與系數(shù)的推導(dǎo)，具體如下：
1、在特定方向的單位地震加速度荷載作用下，耦合的多自由度體系的動力平衡方程如下：
設(shè)結(jié)構(gòu)的靜力自由度總數(shù)為 n，則 n 階列向量 {I } 的表達式為：
a、對于 X 方向的地震加速度，則有：
b、對于 Y 方向的地震加速度，則有：
2、對節(jié)點位移進行坐標變換，以廣義坐標代替幾何坐標，即：
其中，N 為結(jié)構(gòu)的振型總數(shù)（即結(jié)構(gòu)的動力自由度總數(shù)）
3、利用結(jié)構(gòu)振型的正交性，并假設(shè)阻尼矩陣也滿足正交條件，即可將多自由度體系的動力平衡方程解耦合，得到 N 個獨立的單自由度體系的動力平衡方程，如下：
4、考慮到結(jié)構(gòu)振型關(guān)于質(zhì)量的歸一化處理，單自由度體系的動力平衡方程可進一步簡化為：
其中，振型參與系數(shù)為：
由于等號右邊的動力荷載并不隨時間變化（即非時間函數(shù)），故該方程的穩(wěn)態(tài)解即靜力解。即：
5、通過振型疊加將節(jié)點位移由廣義坐標轉(zhuǎn)換為幾何坐標，則振型 i 對應(yīng)的節(jié)點位移向量為：
6、振型 i 對應(yīng)的地震力向量為：
7、振型 i 中施加在節(jié)點自由度 j 上的地震力為：
8、振型 i 的基底剪力為：
a、對于 X 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達式可得：
b、對于 Y 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達式可得：
9、對于單位地震加速度荷載，整個結(jié)構(gòu)的基底剪力在數(shù)值上與結(jié)構(gòu)在特定方向上的總質(zhì)量相等，具體如下：
a、對于 X 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達式可得：
b、對于 Y 方向的地震加速度，根據(jù) {I } 的表達式可得：
10、綜上，振型 i 在 X 和 Y 方向地震作用下的質(zhì)量參與系數(shù)分別為：
如果用戶提取數(shù)量足夠的振型數(shù)量，則累計的質(zhì)量參數(shù)系數(shù)可達到規(guī)范要求的 90% 以上。